「順列」と「組合せ」

 前回は、「場合の数」 とは何か!? について説明させて頂きましたが、
今回は、「場合の数」 のうち、「順列」と「組合せ」について、
説明したいと思います。

「順列」
  異なるn個の並べることを「順列」といいます。

「組合せ」
  異なるn個を取り出す(だけの)ことを「組合せ」といいます。

 つまり、「順列」は”並べる”わけですから、n個の”順番”が異なる場合は
別のケースとして捉えますが、「組合せ」は、”取り出すだけ”ですから、
n個の”順番”が異なっても同じケースとして捉えます。

 「順列」の場合

   「1-2」と「2-1」は異なるケースと捉える。

 「組合せ」の場合

   「1-2」と「2-1」は同じケースと捉える。

 では、「順列」の問題から、説明していきましょう!!

【順列の問題】

 「1」から「9」の9枚のカードから、2枚のカードを使って作れる
 2桁の数字は何通り?

【考え方】

 今回も、実際にカードを使って考えてみましょう。

 まず、「十の位」に9枚のカードから、1つのカードを選んで、
 置いてみましょう。

 

 このように、「十の位」の選び方は、「9通り」ですね。

 では、「十の位」に「2」のカードを選んだ場合、
次はどうなるでしょう?

 
 すでに、「2」のカードは選ばれていますから、この場合の
 選び方は、9枚のカードから「2」を除いた「8通り」ですね。

 では、このようにして、9枚のカードから2枚を使ってできる
 2桁の数字は、全部で何通りあるか考えてみましょう。

 

【組合せの問題】

 「青」「赤」「黄」「緑」の4つのボールの入った袋から、
 2つのボールを取り出した時、2つのボールの色は何通り?

【考え方】

 今回も、実際にボールを使って考えてみましょう。

 まず、4つのボールが入った袋から、1つ目のボールを
 取り出してみましょう。

 

 1つ目のボールの色は、「青」「赤」「黄」「緑」の4通りです。

 では、1つ目のボールが「赤」だった場合、2つ目のボールの色は
 何通りでしょうか。

 

 2つ目のボールの色は、「青」「黄」「緑」の3通りです。

 つまり、4つのボールの入った袋から、2つのボールを
 取り出した時、2つのボールの色は

 

 ちょっと待ってください。今回の問題は、「袋から2つの
 ボールを取り出したの場合、その色は何種類?」という
 問題ですが、「青」-「赤」の組合せと「赤」-「青」の
 組合せは同じですよね。

 この問題は、「組合せ」の問題ですから、2つのボールの
 順番が違っても同じケースとして扱う必要があります。

 

 ちなみに、この計算式の「÷2」は、2つのボールを順番に
 並べる場合の数(2×1)を意味しています。

 整理すると、この問題は、

  (4つのボールのうち2つを並べる場合の数(順列)) ÷

  (2つのボールを並べる場合の数(順列))

 で求めることが出来るのです。

 つまり

  ( 4 × 3 ) ÷ ( 2 × 1 ) = 6

 ということです。

【Dr.Keiのワンポイント・アドバイス】

 「順列」と「組合せ」の違いと、それぞれの考え方、
 分かりましたか?

  「順列」
   (意  味) 異なるn個から、r個を並べることを
         「順列」といいます。

   (ポイント) ”並べる”場合、つまり、順番の違いを
          別のケースと考える場合は「順列」

 「組合せ」
   (意  味) 異なるn個から、r個を取り出す(だけの)
          ことを「組合せ」といいます。

   (ポイント) ”取り出すだけ”の場合、つまり、順番の
          違いを同じケースと考える場合は「組合せ」